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C++递归总结(三)

更新时间:2018-12-18 18:01:18浏览次数:1+次

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【问题描述】

    设S是一个具有n个元素的集合,S={a1,a2,……,an},现将S划分成k个满足下列条件的子集合S1,S2,……,Sk ,且满足:

   则称S1,S2,……,Sk是集合S的一个划分。它相当于把S集合中的n个元素a1 ,a2,……,an放入k个(0<k≤n<30=无标号的盒子中,使得没有一个盒子为空。请你确定n个元素a1 ,a2,……,an 放入k个无标号盒子中去的划分数S(n,k)。


【输入样例】setsub.in

       23  7


【输出样例】setsub.out

      4382641999117305

【算法分析】
      先举个例子,设S={1,2,3,4},k=3,不难得出S有6种不同的划分方案,即划分数S(4,3)=6,具体方案为:
{1,2}∪{3}∪{4}  {1,3}∪{2}∪{4}    {1,4}∪{2}∪{3}
{2,3}∪{1}∪{4}  {2,4}∪{1}∪{3}    {3,4}∪{1}∪{2}
    考虑一般情况,对于任意的含有n个元素a1 ,a2,……,an的集合S,放入k个无标号的盒子中去,划分数为S(n,k),我们很难凭直觉和经验计算划分数和枚举划分的所有方案,必须归纳出问题的本质。其实对于任一个元素an,则必然出现以下两种情况:
       1、{an}是k个子集中的一个,于是我们只要把a1,a2,……,an-1 划分为k-1子集,便解决了本题,这种情况下的划分数共有S(n-1,k-1)个;
       2、{an}不是k个子集中的一个,则an必与其它的元素构成一个子集。则问题相当于先把a1,a2,……,an-1 划分成k个子集,这种情况下划分数共有S(n-1,k)个;然后再把元素an加入到k个子集中的任一个中去,共有k种加入方式,这样对于an的每一种加入方式,都可以使集合划分为k个子集,因此根据乘法原理,划分数共有k * S(n-1,k)个。

   综合上述两种情况,应用加法原理,得出n个元素的集合{a1,a2,……,an}划分为k个子集的划分数为以下递归公式:S(n,k)=S(n-1,k-1) + k * S(n-1,k) (n>k,k>0)。
 下面,我们来确定S(n,k)的边界条件,首先不能把n个元素不放进任何一个集合中去,即k=0时,S(n,k)=0;也不可能在不允许空盒的情况下把n个元素放进多于n的k个集合中去,即k>n时,S(n,k)=0;再者,把n个元素放进一个集合或把n个元素放进n个集合,方案数显然都是1,即k=1或k=n时,S(n,k)=1。
   因此,我们可以得出划分数S(n,k)的递归关系式为:

  S(n,k)=S(n-1,k-1) + k * S(n-1,k)      (n>k,k>0)

   S(n,k)=0                         (n<k)或(k=0)

   S(n,k)=1                         (k=1)或(k=n)

参考代码

#include<iostream>
using namespace std;
int s(int n, int k)//数据还有可能越界,请用高精度计算
{
    if ((n < k) || (k == 0)) return 0;//满足边界条件,退出
    if ((k == 1) || (k == n)) return 1;
    return s(n-1,k-1) + k * s(n-1,k);//调用下一层递归
}
int main()
{
    int n,k;
    cin >> n >> k;
    cout << s(n,k);
    return 0;
}