当前位置:C++技术网 > 资讯 > 递归与迭代简答分析

递归与迭代简答分析

更新时间:2015-10-08 17:41:22浏览次数:1+次

最大公因数
  最大公因数,又称最大公约数,英文Greatest Common Divider,缩写GCD
n(≥2)个自然数a1,a2,…,an的最大公因数通常有两种定义方式:

1. 它们的所有公因数中最大的那一个;

2. 如果自然数m是这n个自然数的公因数,且这n个数的任意公因数都是m的因数,就称m是这n个数的最大公因数.

  a1,a2,…,an的最大公因数在国内常记为(a1,a2,…,an),国际通用记号为g.c.d.(a1,a2,…,an) 

例:求最大公因数程序:(以下程序是伪码描述)
递归法:
procedure GCD(a,b)//
假设a>b>=0//
   if b==0 then return(a)
       else return(GCD(b,a mod b))//mod
运算为模运算,在此式中意为求ab的模//
   endif
end GCD

转化为迭代:
procedure GCD2(a,b)
   while b!=0 do
      t=b; b=(a mod b); a=t;
   repeat
   return(a)
end GCD2

迭代的另外一个example
 for(;;)
 {
   a[2] = a[0] + a[1];
   a[0] = a[1];
   a[1] = a[2];
 }
就是反复套用一个公式

一个讨论:

    看过这样一道题,问,程序结构化设计的三种基础结构,顺序、选择、循环是不是必须的?当然,你知道这样一个论断,只要有这三种就足够了;但是能不能更少呢?答案是可以,原因就是递归能取代循环的作用,例如下面的对一个数组里面元素求和的函数:

float rsum (float a[], const int n)
{
if (n <= 0) return 0;
else return rsum(a, n – 1) + a[n – 1];
}

实际上就是:

sum = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) sum += a[i];


   但实际的情况是,任何的一种语言里面都有循环结构,但不是任何的语言都支持递归;套用一句话,递归是万能的,但没有递归不是万万不能的。然而,我看到现在的某些人,不管什么问题都要递归,明明循环是第一个想到的方法,偏偏费尽脑筋去寻找递归算法。

  经常的看到递归算法非递归算法,这种提法没有语义上的问题,并且我自己也这样用——递归的算法。但这也正说明了,递归不是算法,他是一种思想,正是因为某个算法的指导思想是递归的,所以才被称为递归算法;而一个有递归算法的问题,当你不使用递归作为指导思想,这样得到的算法就是非递归算法。——而对于循环能处理的问题,都有递归解法,在这个意义上说,循环算法都可以称为非递归算法。

  我在这咬文嚼字没什么别的意思,只是想让大家知道,能写出什么样的算法,关键是看你编写算法时的指导思想。如果一开始就想到了循环、迭代的方法,你再费心耗神去找什么递归算法——即使找到了一种看似简洁的算法,由于他的低效实际上还是废物——你还在做这种无用功干什么?典型的学究陋习。如果你仅仅想到了递归的方法,现在你想用栈来消解掉递归,你做的工作仅仅是把系统做的事自己做了,你又能把效率提高多少?盲目的迷信消解递归就一定能提高效率是无根据的——你做的工作的方法如果不得当的话,甚至还不如系统原来的做法。

  从学排列组合那天开始,我所知道的阶乘就是这个样子n! = 1×2×……n。如果让我来写阶乘的算法,我也只会想到从1乘到n。再如,斐波那契数列,如果有人用自然语言描述的话,一定是这样的,开始两项是01,以后的每项都是前面两项的和。所以让我写也只会得到保存前两项,然后相加得到结果的迭代解法。——现在只要是讲到递归几乎就有他们的登场,美其名曰:定义是递归的,所以我们写递归算法。我想问的是,定义的递归抽象是从哪里来的?显然阶乘的定义是从一个循环过程抽象来的,斐波那契数列的定义是个迭代的抽象。于是,我们先从一个本不是递归的事实抽象出一个递归的定义,然后我们说,因为问题的定义是递归的,因此我们很容易写出递归算法,接着说,我们也能将这个递归算法转化为循环、迭代算法,给人的感觉就像是1÷30.33……0.33……×30.99……,然后我们花了好大的心智才明白10.99……

  还是有那么些人乐此不疲,是凡讲到递归就要提到这两个,结果,没有一个学生看到阶乘那样定义没有疑问的,没有一个对于那个递归的阶乘函数抱有钦佩之情的——瞎折腾什么呢?所以,如果要讲递归,就要一个令人信服的例子,而这个例子非汉诺塔莫属。